세상의 모든 호기심에 답하는 수학의 핵심 개념 35가지
기초과학 대국인 영국의 쿼커스 출판사에서 의욕적으로 펴내고 있는 ‘사이언스 씽킹’ 시리즈의 제1권으로, 특히 학교 현장에서 큰 호평을 받고 있는 화제작.
수학은 삼각형의 각도를 재거나 인수분해로 방정식을 푸는 것뿐이라고 생각하는가? 만약 그렇다면 생각을 고칠 필요가 있다. 이 책은 흥미진진하고 때로는 기묘한 이야기들을 통해 수학계에서 일어난 가장 중요한 발견 35가지를 이해하기 쉽게 설명한다. 짧은 분량으로 이루어진 각 장은 무리수, 카오스 이론, 무한은 물론이고 과일 가게 주인은 왜 오렌지를 그런 식으로 쌓는지를 포함해 중요한 수학적 개념들의 기초를 소개한다. 수론과 기하학의 난해한 질문, 소수의 수수께끼, 페르마의 마지막 정리를 알고 싶거나, 아니면 주식시장에서 큰돈을 버는 비법을 알고 싶은 사람에게 이 책은 신비하고 놀라운 현대 수학의 세계를 소개하는 최고의 안내서가 될 것이다.
수학에서 반드시 알아야 할 핵심 개념들을 쏙쏙 짚어주는 책
수학은 무한히 작은 세계에서부터 무한히 큰 것에 이르기까지 모든 것을 아우르며, 자연계를 기술하고 측정하는 원리를 제공한다. 또한 수학은 수천 년에 걸쳐 인류가 보여준 비범한 창조성의 집합이기도 하다. 이 책은 수학의 기초라 할 수 있는 수(數)와 피타고라스의 정리에서 근현대의 리만 가설, 슈뢰딩거 방정식, P＝NP 문제에 이르기까지 우리가 꼭 알아야 할 수학 개념들을 총망라하고 있다.
그러나 단순한 개념 설명과 정리에 그친다면 일반적인 수학 학습서와 다를 바 없을 것이다. 영국에서 ‘괴짜 대중수학자’로 유명한 저자는 각 개념의 성립 배경 및 발전 과정은 물론, 그 과정에서 부닥친 난제를 해결하기 위한 수학자들의 노력을 재치 있게 압축해냈으며, 또한 개념 파악에 도움이 되는 그림 및 인용문을 적절히 배치한 편집의 묘로 가독성을 높였다. 읽는 이의 수준에 따라 때로는 너무 쉽게, 때로는 너무 어렵게 느껴질 수도 있겠지만, 쉬우면 쉬운 대로, 어려우면 어려운 대로 수학의 역사를 한눈에 조망하는 쾌감을 선사할 것이다.
과학적 사고의 근육을 키우고 상상력에 날개를 달아주는 지식 트레이닝
이 책의 가장 큰 특징은 총 35개의 토픽으로 구성된 차례를 살펴보면 단번에 알 수 있다. 세상의 모든 방정식을 푸는 법, 수학의 괴물을 죽이는 법, 스도쿠를 잘하는 법, 주식시장에서 큰돈을 버는 법, 총알보다 빨리 달리는 법, 다빈치 코드를 푸는 법 등 토픽 제목만 봐도 즉각 흥미를 불러일으키게 한다. 각 토픽에서 다루는 내용 역시 기본적으로는 개념 설명이 주를 이루지만, 궁극적으로는 그러한 개념들이 현실과 어떻게 접목될 수 있는지를 흥미로운 사례를 통해 보여준다.
가령 이런 식이다. 스도쿠로 유명한 라틴 방진은 정보시대에 일어나는 데이터 오류를 방지, 제거, 정정하는 데 중요한 역할을 한다. 프랙탈 기하학은 주식시장의 종잡을 수 없는 변동성을 설명하는 데 아주 유용하게 쓰인다. 그래프 이론은 텔레커뮤니케이션에서부터 게놈 열기 서열 해독에 이르기까지 현대 세계에서 실용적으로 널리 쓰인다. 디너파티 문제에서 비롯된 램지의 정리는 컴퓨터과학과 인공지능 분야에까지 적용되고 있다. 벤퍼드의 법칙은 회계 장부를 조작하는 비양심적 기업가들을 법의 심판대에 올리는 데 큰 기여를 했다.
어쩌면 이 책의 진정한 묘미는 바로 여기에 있는지도 모른다. 수학이 과거-그들의 문제가 아니라 지금-우리의 문제라는 사실을 깨닫는 것만으로도 수학에 대한 지적 호기심과 흥미가 한층 솟아날 것이다.
이 책에 등장하는 핵심 키워드들
가우스 분포 / 거짓말쟁이 역설 / 검사의 오류 / 게임 이론 / 결정학적 제한 정리 / 공집합(?) / 광전 효과 / ‘괴물’ / 구면기하학 / 군론 / 그래프 이론 / 급수 / 기이한 끌개 / 기하화 추측 / 나비 효과 / 나비에―스토크스 방정식 / 다양체 / 단순군 / ‘달빛’ / 대수학의 기본 정리 / 대칭 / 도박사의 오류 / 동위각 정리 / 등각나선 / 디너파티 문제 / 디오판토스 방정식 / 디지털 물리학 / 램지의 정리 / 로그 / 리만 가설 / 리만 제타 함수 / 리처드슨 효과 / 리치 흐름 / 매듭 이론 / 모듈러 형식 / 무리수 / 무한군 / 미적분 / 벌집 추측 / 베르트랑 공준 / 벡터 미적분 / 벤퍼드의 법칙 / 벽지군 / 변호사의 오류 / 병참 본뜨기 / 복소수 / 복소평면 / 복소해석학 / 복잡성 이론 / 분수 / 비네의 공식 / 빈도 분석법 / 산술의 기본 정리 / 삼체 문제 / 상대성 이론 / 상트페테르부르크 역설 / 소수 계량 함수 / 소수 정리 / 수술 이론 / 순열 / 순회 세일즈맨 문제 / 슈뢰딩거 방정식 / 시에르핀스키 카펫 / 실수 / 심플렉스 / 쌍곡기하학 / 쌍둥이 소수 추측 / 아르강 다이어그램 / 아르키메데스의 다면체 / 아킬레우스와 거북의 역설 / 알고리듬 / 양수 / 양자역학 / 엔트로피 / 연분수 / 오일러 벽돌 / 오일러의 공식 / 원주율(π) / 웨이어-펠란 거품 / 위상수학 / 유리수 / 유체역학 / 유클리드 공준 / 유한군 / 음수 / 이중 슬릿 실험 / 자릿값 체계 / 정규 분포 / 정보 이론 / 정수 / 조르당-횔더 정리 / 존스 다항식 / 종형 곡선 / 기준 좌표계 / 죄수의 딜레마 / 중국인 우편배달부 문제 / 중심 극한 정리 / 지수함수 / 초월수 / 측정의 역설 / 카라토프스키 정리 / 카오스 / 칸토어의 정리 / 케플러―푸앵소 다면체 / 케플러의 추측 / 켈빈 세포 / 코흐 눈송이 / 쾨니히스베르크의 다리 문제 / 큰 수의 법칙 / 클라인 병 / 튜링 기계 / 파동함수(ψ) / 팩토리얼(!) / 퍼닛표 / 페르마의 마지막 정리 / 평행선 공준 / 폰 노이만 기계 / 푸앵카레 추측 / 프랙탈 / 플라톤의 다면체 / 플라톤의 다포체 / 플랑크 상수(h) / 피보나치 수열 / 피타고라스의 정리 / 해피엔딩 문제 / 허수 / 호바노프 호몰로지 / 확률론 / 황금분할 / 황금비(φ) / 힐베르트 호텔 / 36명의 장교 문제 / 4색 문제 / 5색 문제 / e / i / ‘NP-완전’ 문제
피타고라스를 따르던 무리 중에 히파소스(Hippasos)라는 사람이 있었는데, 그는 정확하게 분수로 나타낼 수 없는 수들이 있다는 사실을 발견했다. 사실, 반듯하고 명명백백한 정사각형에도 이 기묘한 ‘무리수’가 숨어 있었다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 경우, 그 대각선 길이는 √2인데, √2는 바로 무리수이다.(2장 ‘유명한 수학자가 되는 법’ 참고.) √2를 정확하게 분수로 나타낼 수 있는 방법은 없다. 이 사실에 피타고라스는 크게 분노했고, 전설에 따르면 정수의 완전무결성에 위배되는 이단적인 사실을 발견해 퍼뜨렸다는 이유로 히파소스는 물에 빠져 죽었다고 한다. 그렇지만 히파소스의 생각은 옳았다. 무리수는 도처에 존재하며, 무리수를 피할 수 있는 방법은 없다.
오랫동안 사람들은 π도 무리수가 아닐까 하고 의심했다. 그렇지만 그 사실은 18세기에 가서야 독일의 요한 람베르트(Johann Lambert)가 확실하게 입증했다. π는 무리수이기 때문에 그것을 소수로 표시하면 3.14159265358979323846264…로 끝없이 계속되며, 일정 부분이 다시 반복되는 일도 없다. 바로 이런 이유 때문에 π는 기억력 테스트를 하기에 좋은 자료를 제공한다. 많은 사람들이 π의 값을 소수점 아래 몇 자리까지 외우는지 경쟁을 벌인다. 공인된 세계 기록은 2005년에 중국의 뤄차오(?超)가 세운 소수점 아래 6만 7890자리다. 다만, 공인된 기록은 아니지만, 일본의 하라구치 아키라(原口證)가 2006년에 소수점 아래 10만 자리까지 외우는 데 성공했다고 한다.
유한 단순군의 분류는 현대 수학이 거둔 큰 승리 중 하나인데, 거기에는 흥미로운 뒷이야기가 있다. 얼핏 보기에는 아무 관련도 없어 보이는 수학 분야인 현대 복소해석학(12장 ‘수학의 위대한 업적을 감상하는 법’ 참고)의 깊은 바닷속에는 ‘모듈러 형식(modular form)’이라는 영역이 자리 잡고 있다.
이 강력하지만 비밀스러운 대상은 최근에 페르마의 마지막 정리(2장 ‘유명한 수학자가 되는 법’ 참고)의 증명을 포함해 수학에서 중요한 역할을 했다. 이것은 유한군과 아무 관계도 없어 보이지만, 1979년에 존 콘웨이(John Conway)와 사이먼 노턴(Simon Norton)이 여기서 괴물의 선명한 발톱 자국을 발견했다. 그 괴물이 지닌 측면들을 나타내는 196883과 21493760 같은 수 역시 이 이질적인 형식에서 나타났다. 그들은 이 현상을 ‘달빛(moonshine)’이라 이름 붙였다. 그 연결 관계는 마침내 1992년에 리처드 보처즈(Richard Borcherds)가 분명하게 밝혀냈는데, 그는 이 연구로 필즈상을 받았다.
